Función Compuesta:

En álgebra abstracta, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g(f(x)) para todo x perteneciente a X.

A g ∘ f se le llama composición de f y g. AL ver que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.
   

De manera formal, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ∘ f ): X → Z como (g ∘ f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos de X.

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}X&\rightarrow &Y&\rightarrow &Z\\x&\mapsto &f(x)&\mapsto &g(f(x))\end{array}}}$

También se puede representar de manera gráfica usando la categoría de conjuntos, mediante un diagrama conmutativo:

 

• La composición de funciones es asociativa, es decir:

${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$

• La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:

${\displaystyle (g\circ f)\neq (f\circ g)}$

Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x², entonces f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)².

• La inversa de la composición de dos funciones es:

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}}$

Inversa De Una Función:

En la rama de la matemáticas denominada análisis matemático, el teorema de la función inversa proporciona las condiciones suficientes para que una aplicación (función) sea invertible localmente en un entorno de un punto P en términos de su derivada en dicho punto. Técnicamente es un teorema de existencia local de la función inversa

Consideremos la función F de R² en R² definida por

${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}}$

Su matriz jacobiana es

${\displaystyle J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}}$

y su determinante

${\displaystyle \det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}.\,\!}$

Como el determinante e^2x es no nulo en todo punto, aplicando el teorema, para cada punto p de R², existe un entorno de p en que F es invertible.

LIMITES DE UNA FUNCION

Límite De Una Función

Es un concepto fundamental del análisis matemático aplicado a las funciones. En particular, el concepto aplica en análisis real al estudio de límites, continuidad y derivabilidad de las funciones reales.

Intuitivamente, el hecho de que una función f alcance un límite L en un punto c significa que, tomando puntos suficientemente próximos a c, el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee. La cercanía de los valores de f y L no depende del valor que adquiere f en dicho punto c.


El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo ${\displaystyle \varepsilon >0\;}$ existe un ${\displaystyle \delta >0\;}$ tal que para todo número real x en el dominio de la función ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon }$.

Esto, escrito en notación formal:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\underset {x\to c}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \delta >0/\forall x\in \operatorname {Dom} (f),0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}}}$

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremenda mente poderosa, pues nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación ( o punto límite) del dominio de la función , se debe al matemático francés Luis Cauchy.⁵

Veamos un ejemplo. Supongamos que se quiere demostrar que ${\displaystyle \lim _{x\to 2}(3x-5)=1.}$ El cálculo de este límite surge por simple sustitución, esto se debe a que la función afín es continua.

Límite secuencial

Consiste en definir al límite de una función en términos de los valores que toma para sucesiones contenidas en su dominio.

Una función real f tiene un límite L en un punto x = c de su dominio si para toda sucesión x_n que converge a este punto c, la sucesión f(x_n) converge a L.

En términos formales, si x_n es una sucesión tal que

entonces f tiene límite L en x = c si y sólo si

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} /\forall x_{n},\,n>N\Longrightarrow |f\left(x_{n}\right)-L|<\varepsilon }$

lo cual se simboliza así:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left(x_{n}\right)=L}$

Función que tiende a infinito[editar]

Si tomamos a la función f como una variable, por ejemplo, y, podemos utilizar la definición de variable que tiende a infinito, y combinarla con la definición de límite, de la siguiente manera. Dada cierta función f, diremos que tiende a infinito cuando crezca indefinidamente, a medida que nos acercamos a cierto punto c en el dominio. Esto equivale a afirmar que f no está acotada, para valores del dominio «suficientemente cercanos» a c. Esto se denota así ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty }$, o también, se escribe ${\displaystyle f(x)\to \infty }$.

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c, es infinito si y sólo si para todo ${\displaystyle R>0}$ existe un ${\displaystyle \delta >0}$ tal que, para todo punto x en el dominio de f, se cumple ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)|>R}$.

Cuando una función tiende a infinito en un punto determinado c del dominio, la recta que determina la ecuación ${\displaystyle x=c}$, es decir, todo punto de la forma ${\displaystyle (c,t)\forall t\in \mathbb {R} }$, se denomina asíntota vertical de la función. Para el ejemplo dado, ${\displaystyle x=0}$ es la asíntota vertical.

El hecho de que ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}=\infty }$ no implica que sea posible la división por cero. Según la definición de este límite, ${\displaystyle 0<|x|<\delta \Rightarrow x\neq 0}$, con lo cual, ${\displaystyle {\frac {1}{0}}\neq \infty }$. En definitiva, ${\displaystyle \not \exists {\frac {1}{0}}}$ es decir, está expresión es indefinida.

Tomemos otro ejemplo, la función logaritmo natural.

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln(x)=-\infty }$

Recurrimos al límite lateral ya que el logaritmo sólo está definido para ${\displaystyle x>0}$ en los reales.

A medida que tomamos M cada vez más grande, podemos establecer R de modo que f supere a M en valor absoluto cuando lo hace x, con respecto a R.